Question

1．設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過在S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1中分別令n=1、2、3，計算可得結論；
（2）通過（1）猜想a_n=2^n-1，進而利用數學歸納法來證明即可．

解答 解：（1）因為S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1，
所以S₁=（2+1）a₁-（2-1）•2^1-1-1，即a₁=1，
S₂=（4+1）a₂-（4-1）•2^2-1-1=a₁+a₂，解得a₂=2，
S₃=（6+1）a₃-（6-1）•2^3-1-1=a₁+a₂+a₃，解得a₃=4；
（2）由（1）猜想a_n=2^n-1．下面用數學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設當n=k時，有a_k=2^k-1成立，
因為S_n=（2n+1）a_n-（2n-1）•2^n-1-1，
所以S_k=（2k+1）a_k-（2k-1）•2^k-1-1=2^k-1，
又因為S_k+a_k+1=2^k-1+a_k+1，且S_k+a_k+1=S_k+1=（2k+3）a_k+1-（2k+1）2^k-1，
所以a_k+1=2^k，即當n=k+1時，命題成立；
由①②可知a_n=2^n-1．

點評 本題考查數列的通項，考查數學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．