Question

11．設(shè)向量$\overrightarrow a=（1+sinx，cosx+sinx）$，$\overrightarrow b$=（2sinx，cosx-sinx），$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知常數(shù)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間$[{0，\frac{2π}{3}}]$上是增函數(shù)，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積，化簡三角函數(shù)式，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，寫出f（ωx）的單調(diào)增區(qū)間，列出不等式求出ω的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1+sinx，cosx+sinx）$，
$\overrightarrow b$=（2sinx，cosx-sinx），
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
=（1+sinx）•2sinx+（cosx-sinx）•（cosx+sinx）
=2sin x+1，
故函數(shù)解析式為f（x）=2sin x+1；
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得f（ωx）的增區(qū)間是（$\frac{2kπ}{ω}$-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{2ω}$），k∈Z；
∵f（ωx）在$[{0，\frac{2π}{3}}]$上是增函數(shù)，
∴$[{0，\frac{2π}{3}}]$⊆（-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$）；
∴0≥-$\frac{π}{2ω}$且$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2ω}$，
∴ω∈（0，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．