Question

13．.已知：$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{m}$是兩個單位向量，其夾角是60°，設向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$、b=2$\overrightarrow{n}$-3$\overrightarrow{m}$．
（1）求|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|．
（2）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 由題意求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}$．
（1）直接由根式$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$求解|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|；
（2）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入數量積公式求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：由題意，$|\overrightarrow{m}|=|\overrightarrow{n}|=1$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|cos60°=\frac{1}{2}$．
（1）∵$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$、b=2$\overrightarrow{n}$-3$\overrightarrow{m}$．
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{m}}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}}$=$\sqrt{4+4×\frac{1}{2}+1}=\sqrt{7}$；
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{n}-3\overrightarrow{m}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{n}}^{2}-12\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+9{\overrightarrow{m}}^{2}}$=$\sqrt{4-12×\frac{1}{2}+9}=\sqrt{7}$．
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（2\overrightarrow{n}-3\overrightarrow{m}）$=$2{\overrightarrow{n}}^{2}-6{\overrightarrow{m}}^{2}+\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2-6+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$．
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-\frac{7}{2}}{7}=-\frac{1}{2}$，
∴θ=120°．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了向量模的求法，是中檔題．