Question

在平面直角坐標系xoy中，已知點A是半圓x²+y²-2y=0（1≤y≤2）上的一個動點，點C在線段OA的延長線上．當

OA

•

OC

=10時，則點C的橫坐標的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由x²+y²-2y=0（1≤y≤2）可得x²+（y-1）²=1．設C（m，n）．當點A取右邊半圓的端點（1，1）時，由

OA

•

OC

=10可得：m+n=10．利用

OA

與

OC

共線，可得n-m=0．聯立解得m，此時點C的橫坐標取得最大值；利用對稱性可知：點C的橫坐標的最小值．

解答： 解：如圖所示，
由x²+y²-2y=0（1≤y≤2）可得x²+（y-1）²=1．
設C（m，n）．
當點A取右邊半圓的端點（1，1）時，
由

OA

•

OC

=10可得：m+n=10，
又

OA

與

OC

共線，∴n-m=0．
聯立解得m=5，此時點C的橫坐標取得最大值5；
利用對稱性可知：點C的橫坐標的最小值為-5．
因此點C的橫坐標的取值范圍是[-5，5]．
故答案為：[-5，5]．

點評：本題考查了向量的關系定理、數量積運算、圓的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．