Question

設函數D（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，則下列結論正確的有

 

（把你認為正確的序號都寫上）．
①D（x）的值域為 {0，1}               
②D（x）的圖象關于y軸對稱
③D（x）不是周期函數                 
④D（x）不是單調函數．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：閱讀型,函數的性質及應用

分析：根據已知函數f（x）的解析式，結合函數單調性、奇偶性的定義，函數周期性的定義及函數值域，分別判斷四個答案的真假，①②④正確，③錯誤．

解答： 解：∵函數f（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，
D（2）=1，D（3）=1，D（

2

）=0，D（

3

）=0．
顯然函數D（x）不是單調函數，故④正確；
對于任意的有理數T，當x為有理數時，x+T必為有理數，此時f（x+T）=f（x）=1；
當x為無理數時，x+T必為無理數，此時f（x+T）=f（x）=0；
即函數是周期為任意非0有理數的周期函數，故③錯誤；
當x為有理數時，-x必為有理數，此時f（-x）=f（x）=1；當x為無理數時，-x必為無理數，此時f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函數，即②正確；
函數值域為{0，1}，故①顯然正確；
故答案為：①②④

點評：本題考查的知識點是分段函數與應用，函數的值域及函數的性質，正確理解新定義是解答的關鍵．