Question

5．定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）=f（2-x），f'（x）（x-1）＞0，則對任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 充要條件
• C． 必要不充分條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的對稱性和單調性，結合函數單調性和對稱性之間的關系進行轉化求解即可．

解答 解：由f（x）=f（2-x），得函數關于x=1對稱，
由f'（x）（x-1）＞0得，
當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數，
當x＜1時，f′（x）＜0，此時函數f（x）為減函數，
若x₁＜x₂，當x₂≤1，函數為減函數，滿足對任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），
此時x₁+x₂＜2，
若x₂＞1，
∵函數f（x）關于x=1對稱，則f（x₂）=f（2-x₂），
則2-x₂＜1，
則由f（x₁）＞f（x₂）得f（x₁）＞f（x₂）=f（2-x₂），
此時函數在x＜1時為減函數，
則x₁＜2-x₂，即x₁+x₂＜2，
即對任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）得x₁+x₂＜2，
反之也成立，
即對任意的x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜2的充要條件，
故選：B

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據條件判斷函數的對稱性和單調性之間的關系，利用條件進行轉化是解決本題的關鍵．