Question

2．已知函數$f（x）=（{m+\frac{1}{m}}）lnx+\frac{1}{x}-x$，（其中常數m＞0）
（1）當m=2時，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區間（0，1）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用導數，我們可以確定函數的單調性，這樣就可求f（x）的極大值；（2）求導數，再進行類討論，利用導數的正負，確定函數的單調性．

解答 解：（1）當m=2時，f（x）=$\frac{5}{2}$lnx+$\frac{1}{x}$-x，
f′（x）=-$\frac{（x-2）（2x-1）}{{2x}^{2}}$（x＞0），
f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2；
令f′（x）＞0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上單調遞減，在（$\frac{1}{2}$，2）單調遞增             
故f（x）極大=f（2）=$\frac{5}{2}$ln2-$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=-$\frac{（x-m）（x-\frac{1}{m}）}{{x}^{2}}$，x＞0，m＞0）
①當0＜m＜1時，則$\frac{1}{m}$＞1，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）時，f′（x）＞0
此時f（x）在（0，m）上單調遞減，在（m，1）單調遞增；           
②當m=1時，則$\frac{1}{m}$=1，故x∈（0，1），有f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
此時f（x）在（0，1）上單調遞減；                  
③當m＞1時，則0＜$\frac{1}{m}$＜1，
故x∈（0，$\frac{1}{m}$）時，f′（x）＜0；x∈（$\frac{1}{m}$，1）時，f′（x）＞0，
此時f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{m}$，1）單調遞增．

點評 用導數，我們可解決曲線的切線問題，函數的單調性、極值與最值，正確求導是我們解題的關鍵．