Question

11．已知函數f（x）=2x-e^2x（e為自然對數的底數），g（x）=mx+1，（m∈R），若對于任意的x₁∈[-1，1]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實數m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）
• B． [1-e²，e²-1]
• C． （-∞，e^-2-1]∪[1-e^-2，+∞）
• D． [e^-2-1，1-e^-2]

Answer 1

分析 利用導數求出函數f（x）的值域A，分類討論m求得函數g（x）的值域B，把問題轉化為A⊆B列不等式組求解．

解答 解：∵f′（x）=2-2e^2x，
∴f′（x）≥0在區間[-1，0]上恒成立，f（x）為增函數；f′（x）≤0在區間[0，1]上恒成立，f（x）為減函數．
∵f（-1）-f（1）=（-2-e^-2）-（2-e²）=e²-e^-2-4＞0，
∴f（-1）＞f（1），又f（0）=-1，則函數f（x）在區間[-1，1]上的值域為A=[2-e²，-1]．
當m＞0時，函數g（x）在區間[-1，1]上的值域為B=[-m+1，m+1]，依題意，
有A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}{-m+1≤2-{e}^{2}}\\{m+1≥-1}\end{array}\right.$，解得m≥e²-1；
當m=0時，函數g（x）在區間[-1，1]上的值域為B={1}，不符合題意；
當m＜0時，函數g（x）在區間[-1，1]上的值域為B=[m+1，-m+1]，依題意，
有A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2-{e}^{2}}\\{-m+1≥-1}\end{array}\right.$，解得m≤1-e²．
綜上，實數m的取值范圍為（-∞，1-e²]∪[e²-1，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，正確理解題意是解答該題的關鍵，是中檔題．