Question

1．已知球O是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，$AB=2\sqrt{3}$，點E在線段BD上，且BD=3BE，過點E作圓O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（　　）

• A． [π，4π]
• B． [2π，4π]
• C． [3π，4π]
• D． （0，4π]

Answer 1

分析 設(shè)△BDC的中心為O₁，球O的半徑為R，連接oO₁D，OD，O₁E，OE，可得R²=3+（3-R）²，解得R=2，過點E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大，即可求解．

解答 解：如圖，設(shè)△BDC的中心為O₁，球O的半徑為R，
連接oO₁D，OD，O₁E，OE，
則${O}_{1}D=3sin6{0}^{0}×\frac{2}{3}=\sqrt{3}$，AO₁=$\sqrt{A{D}^{2}-D{{O}_{1}}^{2}}=3$，
在Rt△OO₁D中，R²=3+（3-R）²，解得R=2，
∵BD=3BE，∴DE=2
在△DEO₁中，O₁E=$\sqrt{3+4-2×\sqrt{3}×2×cos3{0}^{0}}=1$
∴$OE=\sqrt{{O}_{1}{E}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{2}$
過點E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，最小面積為2π
當(dāng)截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4π．
故選：B．

點評 本題考查了球與三棱錐的組合體，考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．