Question

10．已知函數f（x）=2|x+1|+|2x-a|（x∈R）．
（1）當a＞-2時，函數f（x）的最小值為4，求實數a的值；
（2）若對于任意，x∈[-1，4]，不等式f（x）≥3x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的分段函數的形式，求出f（x）的最小值，得到關于a的方程，解出即可；（2）問題等價于|2x-a|≥x-2恒成立，通過討論x的范圍，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）將函數分段為：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-a+2，x≥\frac{a}{2}}\\{a+2，-1＜x＜\frac{a}{2}}\\{-4x+a-2，x≤-1}\end{array}}\right.a$，
∴當且僅當$-1≤x≤\frac{a}{2}$時，f（x）_min=a+2，
由題意得a+2=4，即a=2．
（2）當x∈[-1，4]時f（x）≥3x恒成立?|2x-a|≥x-2恒成立，
若-1≤x＜2，不等式恒成立，此時a∈R；
若2≤x≤4，|2x-a|≥x-2?2x-a≥x-2或2x-a≤（x-2），
即a≤x+2或a≥3x-2在x∈[2，4]恒成立，所以a≤4或a≥10，
綜上知，所求實數a的取值范圍是（-∞，4]∪[10，+∞）．

點評 本題考查了分段函數問題，考查解不等式問題，是一道中檔題．