Question

18．（Ⅰ）求函數f（x）=$\frac{{|{3x+2}|-|{1-2x}|}}{{|{x+3}|}}$的最大值M．
（Ⅱ）若實數a，b，c滿足a²+b²≤c≤M，證明：2（a+b+c）+1≥0，并說明取等條件．

Answer 1

分析 （I）使用絕對值三角不等式得出最大值；
（II）利用基本不等式和條件式化簡．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{|{3x+2}|-|{1-2x}|}}{{|{x+3}|}}$$≤\frac{{|{3x+2+1-2x}|}}{{|{x+3}|}}=1$，
當且僅當（3x+2）（1-2x）≤0即$x≤-\frac{2}{3}$或$x≥\frac{1}{2}$取等號，
∴M=1．
（Ⅱ）證明：2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥$2（{a+b+\frac{{{{（a+b）}^2}}}{2}}）+1$=（a+b+1）²≥0，
當且僅當a=b=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$時取等號．

點評 本題考查了絕對值三角不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題．