Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，BC=AB=1，PA=AD=2
（1）證明：AB⊥PD；
（2）求直線AB與直線PC夾角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：計算題,作圖題,空間位置關系與距離

分析：（1）由題意可證PA⊥AB，結合BA⊥AD可得AB⊥平面PAD，從而得證；
（2）取AD的中點E，連結CE，PE；可知∠PCE為直線AB與直線PC的夾角，在Rt△PCE中解角的余弦值．

解答： 解：（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又∵∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD；
（2）取AD的中點E，連結CE，PE；
∵AE=BC=1，AB∥BC，
∴ABCE是平行四邊形，
∴AB∥CE，
∴∠PCE為直線AB與直線PC的夾角，
又∵AB⊥平面PAD，
∴CE⊥平面PAD，
∴△PCE為直角三角形，
其中PC=

1+1+4

=

6

，
CE=1，
故cos∠PCE=

1

6

=

6

6

．

點評：本題考查了空間中垂直的判斷與證明，同時考查了異面直線的角的解法，屬于中檔題．