Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，且2S_n=（n+1）a_n+n-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n≤M對一切正整數n都成立，求出M的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）依題意，2S_n=（n+1）a_n+n-1⇒2S_n-1=na_n-1+n-2，n≥2，兩式相減可得（n-1）a_n-na_n-1=-1⇒

an

n

-

an-1

n-1

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2），利用累加法即可求得

an

n

=

1

n

+2，繼而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法可得b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），累加求和可得T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）≤M對一切正整數n都成立，從而可求得M的最小值．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}中，a₁=3，2S_n=（n+1）a_n+n-1，①
∴2S_n-1=na_n-1+n-2，n≥2，②
①-②，得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1+1，n≥2．
∴（n-1）a_n-na_n-1=-1，
∴

an

n

-

an-1

n-1

=-

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2），
∴（

an

n

-

an-1

n-1

）+（

an-1

n-1

-

an-2

n-2

）+…+（

a2

2

-

a1

1

）=（

1

n

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n-2

）+…+（

1

2

-1），
即

an

n

-

a1

1

=

1

n

-1，∵a₁=3，
∴

an

n

=

1

n

+2，
∴a_n=2n+1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）
當n→+∞時，

1

2n+3

→0，T_n→

1

6

，
∴T_n≤

1

6

，又T_n≤M對一切正整數n都成立，
∴M_min=

1

6

．

點評：本題考查數列遞推關系的應用，考查累加法與錯位相減法求和，（1）中（n-1）a_n-na_n-1=-1⇒

an

n

-

an-1

n-1

=

1

n

-

1

n-1

（n≥2）是關鍵，考查轉化思想，是難題．