Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)．若

AM

=λ

AB

，則λ+e²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)M，再由向量的共線知識(shí)，即可得到答案．

解答： 解：由于直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，
則A（-

a

e

，0），B（0，a），

y=ex+a b2x2+a2y2=a2b2

消去y，由e=

c

a

，得x²+2cx+c²=0，
解得M（-c，a-ec），
則

AM

=λ

AB

即有（-c+

a

e

，a-ec）=λ（

a

e

，a），
即有

-c+ a e =λ a e a-ec=λa

，
則有1-e²=λ，即λ+e²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．