Question

已知A、B是拋物線y²=4p上不同的兩點，且直線AB的傾斜角為銳角，F為拋物線的焦點，且

FA

=-4

FB

，則直線AB的斜率為（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  4

  5

• C、

  3

  4

• D、

  3

  5

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線

分析：拋物線y²=2px（p＞0）以原點為頂點，開口向右，焦點F（p，0），由

FA

=-4

FB

，設B（

b2

4p

，b），b＜0，
 利用題設條件能推導出b=-p，由此能求出直線AB的斜率．

解答： 解：拋物線y²=4px（p＞0）以原點為頂點，開口向右，焦點F（p，0），
∵

FA

=-4

FB

，
∴B在x軸下方，
設B（

b2

4p

，b），b＜0，
則

FB

=（

b2

4p

-p，b），

FA

=（-

b2

p

+4p，-4b），

OA

=

OF

+

FA

=（P，0）+（-

b2

p

+4p，-4b）=（-

b2

p

+5p，-4b），
由（-4b）²=4p（-

b2

p

+5p），
得b²=p²，b=-p，
設直線AB傾斜角為θ，
則tanθ=

b-0

p 4 -p

=

-p

- 3p 4

=

4

3

．
∴直線AB的斜率為

4

3

．
故選：A．

點評：本題考查直線的傾斜角的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質、向量知識的靈活運用，是中檔題．