Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O是AC與BD的交點，E是B₁B上一點，且B₁E=

1

2

．                   
（1）求證：B₁D⊥平面D₁AC；
（2）求直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能證明B₁D⊥平面D₁AC．
（2）求出平面AEC的法向量，利用向量法能求出直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，
B₁（2，2，2），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），

DB1

=（2，2，2），

AD1

=（-2，0，2），

AC

=（-2，2，0），
∵

DB1

•

AD1

=0，

DB1

•

AC

=0，
∴B₁D⊥AD₁，BD₁⊥AC，
又AD₁∩AC=A，
∴B₁D⊥平面D₁AC．
（2）解：∵O（1，1，0），E（2，2，

3

2

），
∴

OD1

=（-1，-1，2），

AE

=（0，2，

3

2

），
設平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），則

n • AE =2y+ 3 2 z=0 n • AC =-2x+2y=0

，取z=4，得

n

=（3，3，4），
設直線D₁O與平面AEC所成角的為θ，
sinθ=|cos＜

n

，

D1O

＞|=|

-3-3+8

34 • 6

|=

51

51

．
∴直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值為

51

51

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．