Question

如圖三角形ABC中，AD=DC，AE=2EB，BD與CE相交于點P，若

AP

=x

AB

+y

AC

（x，y∈R）則x+y=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據已知條件及圖形，E，P，C三點共線，所以存在實數λ使

AP

=(1-λ)

AE

+λ

AC

=

2(1-λ)

3

AB

+λ

AC

，而同理由三點D，P，B共線可得

AP

=

1-μ

2

AC

+μ

AB

，根據平面向量基本定理即可得到

2(1-λ) 3 =μ λ= 1-μ 2

，這樣解出λ或μ，即可用

AB

，

AC

表示

AP

，再根據平面向量基本定理即可求出x+y．

解答： 解：如圖，E，P，C三點共線，∴存在λ使得：

EP

=λ

EC

；
∴

AP

-

AE

=λ(

AC

-

AE

)；
∴

AP

=(1-λ)

AE

+λ

AC

；
∵AE=2EB；
∴

AE

=

2

3

AB

；
∴

AP

=

2(1-λ)

3

AB

+λ

AC

；
由AD=DC，及D，P，B三點共線，同理得，存在μ使得：

AP

=

1-μ

2

AC

+μ

AB

；
∴

2(1-λ) 3 =μ λ= 1-μ 2

，解得μ=

1

2

；
∴

AP

=

1

4

AC

+

1

2

AB

；
又

AP

=x

AB

+y

AC

；
∴x+y=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：考查共線向量基本定理，以及向量的減法，以及平面向量基本定理．