Question

設函數y=

1+2x+a•4x

，若函數在（-∞，1]上有意義，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：使用換元令t=2^x，將函數轉化為一元二次函數y=1+t+at²進行求解．

解答： 解：設t=2^x，因為x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
則原函數有意義等價于1+t+at²≥0，所以a≥-

1+t

t2

．
設f（t）=-

1+t

t2

，則f（t）=-

1+t

t2

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
因為0＜t≤2，所以

1

t

∈[

1

2

，+∞），所以f（t）≤f（

1

2

）=-

3

4

，
所以a≥-

3

4

．
故答案為：[-

3

4

，+∞）．

點評：本題考查了與指數函數有關的復合函數的最值問題，通過換元，將函數轉化為一元二次函數，是解決本題的關鍵，對應不等式恒成立問題通常是轉化為含參問題恒成立，即求函數的最值問題．