Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，沿對角線AC將梯形折成幾何體PACD，并使得∠PAD=90°（如圖2所示）．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ACD；
（Ⅱ）若O為幾何體PACD外接球的球心，點G為△PCD的重心，求幾何體OACDG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）運用余弦定理和勾股定理，證得AB⊥AC，再由折疊的特點，即可證得PA⊥平面ACD；
（Ⅱ）運用面面垂直的性質定理，以及線面垂直的性質和判斷，得到OE⊥平面ACD，通過解直角梯形ABCD，再由棱錐體積公式，即可得到．

解答： （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，
則AC=

4+16-2×2×4× 1 2

=2

3

，
從而BC²=AC²+AB²，即有AB⊥AC，
在幾何體PACD中，PA⊥AC，又PA⊥AD，
則PA⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：PA⊥平面ACD，PA?平面PAD，
則平面PAD⊥平面ACD，
由AD⊥CD，則CD⊥平面PAD，即CD⊥PD，
則三角形PAC，PCD均為直角三角形，
該幾何體PACD的外接球的球心O為PC的中點，由于G為三角形PCD的重心，
則O，G，D三點共線，取AC的中點E，連接OE，則OE∥PA，OE=

1

2

PA=1，
由于PA⊥平面ACD，則OE⊥平面ACD，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，
則CD=ABsin60°=

3

，AD=4-ABcos60°=3，
則有V_O-ACD=

1

3

×1×(

1

2

×3×

3

)=

3

2

．

點評：本題考查面面垂直的性質和線面垂直的性質和判定定理及運用，考查棱錐體積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．