Question

設函數f（x）=2x³-9x²+12x+8c
（1）當c=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，求出切線的斜率和切點坐標，再由點斜式方程，即可得到；
（2）求出導數，求出單調區間得到極值，求出端點處的函數值，即可得到最大值，再由恒成立思想，解不等式，即可得到c的范圍．

解答： 解：（1）當c=1時，f（x）=2x³-9x²+12x+8
∵f（0）=8，∴切點坐標為（0，8）
又∵f′（x）=6x²-18x+12∴f（0）=12
∴切線方程為：y-8=12（x-0）即12x-y+8=0；
（2）∵f′（x）=6x²-18x+12，
f′（x）＞0即6x²-18x+12＞0解得x＜1或x＞2，
f′（x）＜0，即6x²-18x+12＜0解得1＜x＜2，
又∵0≤x≤3，∴f（x）的增區間為：[0，1）和（2，3]，減區間為（1，2）；
由函數單調性可知：x=1時，函數∴f（x）取得極大值，即f（1）=8c+5，
x=2時，f（x）取得極小值，即f（2）=8c+4；
又∵f（0）=8c，f（3）=8c+9∴f（x）_max=8c+9
又∵對于任意的0≤x≤3，都有f（x）＜c²成立，則f(x)max＜c2，
即：8c+9＜c²解得：c＜-1或c＞9
∴c的取值范圍是（-∞，-1）∪（9，+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區間和極值，最值，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值，屬于中檔題．