Question

已知函數∈R）．

（1）若，求點（）處的切線方程；

（2）設a≤0，求的單調區間；

（3）設a＜0，且對任意的，≤，試比較與的大�。�

 

Answer 1

（1）2x－2y－3＝0;（2）遞增區間（0，），遞減區間（，＋∞）；（3）ln（－a）＜－2b.

【解析】

試題分析：（1）a＝b＝1時，直接求導數，可得f '（1）和f（1）的值，利用點斜式可寫出切線方程；（2）a＜0時，根據b的范圍和導函數值的符號，可求出相應單調區間；（3）由題意知函數f（x）在x＝2處取得最大值，得到a與b的等量關系式，然后比差，再利用函數的思想，得出ln（－a）與－2b的大小.

試題解析：（1）a＝b＝1時，，，

∴，， 2分

故f（x）點（1，f（1））處的切線方程是2x－2y－3＝0． 3分

（2）由，得．

（1）當a＝0時，．

①若b≤0，

由x＞0知恒成立，即函數f（x）的單調遞增區間是（0，＋∞）．

5分

②若b＞0，

當時，；當時，．

即函數f（x）的單調遞增區間是（0，），單調遞減區間是（，＋∞）．

7分

（2）當a＜0時，，得，

由△＝b2－4a＞0得．

顯然，，

當時，，函數f（x）的單調遞增，

當時，，函數的單調遞減，

所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，），

單調遞減區間是（，＋∞）． 9分

綜上所述：

當a＝0，b≤0時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，＋∞）；

當a＝0，b＞0時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，），單調遞減區間是（，＋∞）；

當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，），

單調遞減區間是（，＋∞）． 10分

（3）由題意知函數f（x）在x＝2處取得最大值．

由（2）知，是f（x）的唯一的極大值點，

故＝2，整理得－2b＝－1－4a．

于是

令，則．

令，得，當時，，g（x）單調遞增；

當時，，g（x）單調遞減．

因此對任意x＞0，g（x）≤，又－a＞0，

故g（－a）＜0，即ln（－a）＋1＋4a＜0，即ln（－a）＜－1－4a＝－2b，

∴ ln（－a）＜－2b． 14分

考點：利用導數研究函數性質，不等式