Question

設函數f（x）=bsinx的圖象在點A（

π

6

，f（

π

6

））處的切線與直線

3

x-2y+3=0平行，若a_n=n²+bn，則數列{

1

an

}的前2014項和S₂₀₁₄的值為（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2012

  2013

• C、

  2013

  2014

• D、

  2014

  2015

Answer 1

考點：數列的求和,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：求函數的導數，利用導數的幾何意義，求出b的值，然后利用裂項法即可求出數列的前n項和．

解答：解：∵f（x）=bsinx，
∴f′（x）=bcosx，
則f′（

π

6

）=bcos

π

6

=

3

2

b，
∵圖象在點A（

π

6

，f（

π

6

））處的切線與直線

3

x-2y+3=0平行，
∴切線斜率k=

3

2

b=

3

2

，解得b=1．
∴a_n=n²+bn=a_n=n²+n=n（n+1），
則

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數列{

1

an

}的前2014項和S₂₀₁₄的值為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

，
故選：D．，

點評：本題主要考查數列和的計算，根據導數的幾何意義求出b=1是解決本題的關鍵，求出數列的通項公式，利用裂項法是解決本題的突破．