Question

4．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）若（2$\overrightarrow{a}-b$）$•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=3，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角為$\frac{π}{3}$時，容易求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，從而根據$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$即可求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$的值；
（Ⅱ）根據條件及$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=3$即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，從而由向量夾角的余弦公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{3}=1×2×\frac{1}{2}=1$；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{1+4+16}$
=$\sqrt{21}$；
（Ⅱ）$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=6{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=$6-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4=3$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=-\frac{1}{2}$；
∵$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

點評 考查向量數量積的運算及計算公式，根據$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$求$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$的方法，向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍．