Question

14．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$均為單位向量，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 推導出（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=-3cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，由此能求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$均為單位向量，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$
=-3×$1×1×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=-3cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{π}{6}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查向量的夾角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量數量積公式的合理運用．