Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），$\overrightarrowp9vv5xb5$=（sinx，sinx）．
（1）當x=$\frac{π}{4}$時，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）求$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$取得最大值時x的值；
（3）設函數f（x）=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•（\overrightarrow{c}+\overrightarrowp9vv5xb5）$，將函數f（x）的圖象向右平移s個單位長度，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1；令$\overrightarrow{m}$=（s，t），求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當x=$\frac{π}{4}$時，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|a|•|b|}$，即可求向量向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ；
（2）化簡 $\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$的表達式，通過相位的范圍，利用正弦函數的值域求解其最大值；
（3）通過三角變換求出函數g（x）的表達式，與g（x）=2sin2x+1對照比較，得到$\overrightarrow{m}$=（s，t），即可求|$\overrightarrow{m}$|的最小值．

解答 解：（1）當x=$\frac{π}{4}$時，向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx）=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），$\overrightarrow{b}$=（0，sinx）=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）•（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
而|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{0+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|a|•|b|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）
=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ即x=$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）時，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5$取得最大值$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$；
（3）f（x）=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）$•（\overrightarrow{c}+\overrightarrowp9vv5xb5）$
=（$\sqrt{3}$cosx，cosx-sinx）•（2sinx，cosx+sinx）
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
g（x）=f（x-s）+t=2sin[2（x-s）+$\frac{π}{6}$]+t=2sin（2x-2s+$\frac{π}{6}$）+t=2sin2x+1，
∴t=1，s=$\frac{π}{12}$+kπ，（k∈Z）
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{s}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{π}{12}+kπ）^{2}+1}$，
∴當k=0時，∴|$\overrightarrow{m}$|_min=$\sqrt{（\frac{π}{12}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{{π}^{2}+144}}{12}$．

點評 本題考查向量的數量積，兩角和與差的三角函數，三角函數圖象的平移變換，向量的模等知識，考查分析問題解決問題的能力．