Question

17．三個學生獨立的求解同一個數學題，已知三個學生各自解出該數學題的概率都是$\frac{2}{3}$，且他們能否接觸該題互不影響，
（Ⅰ）求恰有二人解出該題的概率；
（Ⅱ）求能解出該數學題的人數X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）恰有二人解出該題的概率P=${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答 解：（1）恰有二人解出該題的概率P=${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3．利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{2}{3}）^{k}（\frac{1}{3}）^{3-k}$（k=0，1，2，3）．
P（X=0）=$\frac{1}{27}$，P（X=1）=$\frac{2}{9}$，P（X=2）=$\frac{4}{9}$，P（X=3）=$\frac{8}{27}$．
所以能解出該數學題的人數X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

E（X）=0+1×$\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}$+3×$\frac{8}{27}$=2．

點評 本題考查了二項分布列的概率計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．