Question

5．周期函數f（x）的定義域為R，周期為2，且當-1＜x≤1時，f（x）=1-x²．若直線y=-x+a與曲線y=f（x）恰有3個交點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． 2k+$\frac{3}{4}$＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• B． 2k+1＜a＜2k+3，k∈Z
• C． 2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• D． 2k-$\frac{3}{4}$＜a＜2k+1，k∈Z

Answer 1

分析 由題意畫出函數f（x）的圖象，并在圖中畫出關鍵直線，再由條件轉化為求出相切時的切點坐標，利用導數的幾何意義，然后再把坐標代入切線方程求出a的值，

解答 解：由題意畫出函數f（x）的圖象，如下圖：

其中圖中的直線l的方程為：y=-x+1，此時恰有兩個交點，
由圖得，當-1＜x≤1時，直線l向上平移過程中與曲線y=f（x）恰有3個交點，
直到相切時，
設切點為p（x，y），則f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=$\frac{1}{2}$，即y=f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴p（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），代入切線y=-x+a，解得a=$\frac{5}{4}$，
∵f（x）的定義域為R，周期為2，
∴所求的a的集合是：2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z，
故選C．

點評 本題考查了函數的性質以及圖象的應用，導數的幾何意義，考查了數形結合思想，關鍵正確作圖．