Question

13．函數f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]的值域為（0，3ln2]．

Answer 1

分析 利用導函數研究函數f（x）的單調性，利用單調性求其值域．

解答 解：函數f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]，且x≠2．
則f′（x）=$\frac{[xln（x-1）]′（x-2）-（x-2）′[xln（x-1）]}{（x-2）^{2}}$，
令f′（x）=0，
解得：x=2．
∵x∈[1.5，3]，且x≠2．
當1.5≤x＜2，f′（x）＜0，故而f（x）是單調遞減，且f（x）＞0．
當2＜x≤3，f′（x）＞0，故而f（x）是單調遞增，且f（x）＞0．
∴f（x）＞0．
當x=3時，取得最大值為3ln2．
得函數f（x）的值域為（0，3ln2]．
故答案為：（0，3ln2]．

點評 本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．