Question

7．定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數）使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為f（x）的一個承托函數，現在如下函數：①f（x）=x³；②f（x）=2^x；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lgx，x＞0\\ 0，x≤0.\end{array}$；④f（x）=x+sinx則存在承托函數的f（x）的序號為（　　）

• A． ①④
• B． ②④
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 函數g（x）=kx+b（k，b為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）；

解答 解：函數g（x）=kx+b（k，b為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）；
①f（x）=x³ 的值域為R，所以不存在函數g（x），使得函數f（x）的圖象恒在g（x）的上方，故不存在承托函數；
②f（x）=2^-x＞0，所以y=A（A≤0）都是函數f（x）的承托函數，故②正確；
③∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$的值域為R，所以不存在函數g（x），使得函數f（x）的圖象恒在g（x）的上方，故不存在承托函數；
④f（x）=x+sinx≥x-1，所以存在函數g（x）=x-1使得函數f（x）的圖形恒在函數g（x）的上方，故存在承托函數．
故答案為：②④

點評 本題考查了對新定義的理解與應用，以及對函數值域與性質的綜合理解，屬中等題．