Question

19．在平面直角坐標系xoy中，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
（2）過坐標原點O作一條直線交軌跡E于A，B兩點，過點B作x軸的垂線，垂足為點C，連AC交軌跡E于點D，求證：AB⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由直線的斜率公式與直線的點斜式方程，求出直線A₁P、A₂Q方程，將兩條直線方程的左右兩邊對應相乘，并利用點P（x₁，y₁）在雙曲線上對所得的式子化簡，整理軌跡E的方程，再對所求的軌跡加以檢驗即可得到答案．
（2）B，D代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，相減整理可得k_AD•k_BD=-$\frac{1}{2}$，證明k_AB•k_BD=-1，即可證明結論．

解答 （1）解：由題設知|x₀|＞$\sqrt{2}$，A₁（-$\sqrt{2}$，0），A₂（$\sqrt{2}$，0），
∵直線A₁P的斜率為k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，
∴直線A₁P的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），…①
同理可得直線A₂Q的方程為y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$）．…②
將①②兩式相乘，得y²=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2-{{x}_{1}}^{2}}$（x²-2）．…③
∵點P（x₁，y₁）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上，
∴可得y₁²=$\frac{1}{2}$（x₁²-2），…④
將④代入③，得y²=$\frac{1}{2}$x²-1，整理得$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，即為軌跡E的方程．
∵點P、Q不重合，且它們不與A₁、A₂重合，
∴x≠±$\sqrt{2}$，軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1（x≠±$\sqrt{2}$）；
（2）設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則A（-x₁，-y₁），則
B，D代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，相減整理可得k_AD•k_BD=-$\frac{1}{2}$，
∵k_AD=k_AC=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$k_AB，
∴k_AB•k_BD=-1，
∴AB⊥BD．

點評 本題著重考查了雙曲線的標準方程、直線的基本量與基本形式和動點軌跡的求法，考查點差法的運用等知識，屬于中檔題．