Question

14．已知a＞0，函數f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|．
（1）求函數f（x）的零點；
（2）求不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）記f（x）在區間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，可得函數f（x）的零點；
（2）當x＞a時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，當0＜x≤a時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，解得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集；
（3）求導分析函數的單調性，進而分類討論，可得g（a）的表達式．

解答 解：（1）令f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=0，
則x=a，
∴函數f（x）的零點為a；
（2）∵x＞0，a＞0，
∴x+2a＞0，
當x＞a時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（a，4a），
當0＜x≤a時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可化為：-$\frac{x-a}{x+2a}$＜$\frac{1}{2}$，
解得：x∈（0，a]，
綜上可得：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的解集為（0，4a）；
（3）函數f（x）=|$\frac{x-a}{x+2a}$|=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{x-a}{x+2a}，0≤x≤a\\ \frac{x-a}{x+2a}，x＞a\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{-3a}{（x+2a）^{2}}，0≤x≤a\\ \frac{3a}{（x+2a）^{2}}，x＞a\end{array}\right.$，
故函數f（x）在[0，a]上為減函數，在[a，+∞）上為增函數，
又由f（0）=f（4a）=$\frac{1}{2}$，
故4∈[0，4a]，即a≥1時，g（a）=f（0）=$\frac{1}{2}$，
4∈（4a，+∞），即0＜a＜1時，g（a）=f（4）=$\frac{4-a}{4+2a}$．
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}，a≥1\\ \frac{4-a}{4+2a}，0＜a＜1\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是函數的零點，分段函數的應用，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．