Question

13．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在y軸上的一個頂點為M，兩個焦點分別是F₁，F₂，∠F₁MF₂=120°，△MF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）過橢圓G長軸上的點P（t，0）的直線l與橢圓O：x²+y²=1相切于點Q（Q與P不重合），交橢圓G于A，B兩點，若|AQ|=|BP|，求實數t的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：焦點在x軸上，M為橢圓的上頂點，則丨MF₁丨=a，∠F₁MF₂=120°，則c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=acos60°=$\frac{1}{2}$a，根據三角形的面積公式可知：△MF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$•（2c）•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$．即可求得a和b的值，求得橢圓G的方程；
（2）由題意設出l：y=k（x-t），得到OQ所在直線方程，求出Q的坐標，由直線和圓相切得到k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，再聯立直線方程和橢圓方程，由|AQ|=|BP|可得AB中點與PQ中點重合，由此列式求得k值，代入k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，求得t值．

解答 解：（1）由橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，M為橢圓的上頂點，則丨MF₁丨=a，
由∠F₁MF₂=120°，
∴c=asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=acos60°=$\frac{1}{2}$a，
由△MF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$•（2c）•b=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$．
解得：a=2，則b=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）如圖，由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設為k，
則l：y=k（x-t），
則OQ所在直線方程為y=-$\frac{1}{k}$，
由O到直線l的距離d=$\frac{丨-kt丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得：Q（$\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{kt}{1+{k}^{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-t）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$，
由題意可知，AB中點與PQ中點重合，
則$\frac{4{k}^{2}t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}t}{1+{k}^{2}}+t}{2}$，即k²=$\frac{1}{2}$．
由k²=$\frac{1}{{t}^{2}-1}$，得t=±$\sqrt{3}$．
∴實數t的值為±$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查橢圓方程求法，考查直線與圓錐曲線的位置關系等知識，考查化歸與轉化、數形結合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．