Question

正數數列{a_n}前n項和S_n，且S_n=（

an+1

2

）²，b_n=（-1）ⁿS_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；   
（2）求{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據a_n與S_n的關系，根據題意化簡得到數列的遞推公式，判斷出數列是等差數列，代入等差數列的通項公式求出a_n；
（2）由（1）和題意求出b_n，討論n是奇數和偶數，利用平方差公式、分組求和法和等差數列的前n項和公式，求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由題意得，S_n=（

an+1

2

）²，且a_n＞0，
當n=1時，a₁=S₁=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2
a_n=

1

4

[（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1-2）]
4a_n=an2+anan-1+2an-an-1an-an-12-2an-1
an2-2an-an-12-2an-1=0
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n＞0，所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
所以數列{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數列，
則a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）由（1）得，S_n=（

an+1

2

）²=n²，
所以b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²，
若n是偶數，則n²-（n-1）²=2n-1，
則T_n=-1²+2²-3²+4²+…+（-1）ⁿn²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]
=3+7+…+（2n-1）=

3+2n-1

2

×

n

2

=

n(n+1)

2

，
若n是奇數，則（n+1）²-n²=2n+1，
則T_n=-1²+2²-3²+4²+…+（-1）ⁿn²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（n-1）²-（n-2）²）-n²
=3+7+…+（2n-3）-n²=

3+2n-3

2

×

n-1

2

-n²=-

n(n+1)

2

，
綜上得，T_n=

n(n+1) 2 ，n是偶數 - n(n+1) 2 ，n是奇數

．

點評：本題考查數列a_n與S_n的關系，等差數列的通項公式、前n項和公式，以及分類討論思想和分組求和法，考查學生的化簡運算能力．