Question

設函數f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數y=f（x0的圖象按b=（

π

4

，

3

2

）平移后得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，然后利用周期公式求周期；
（Ⅱ）由函數圖象的平移得到函數y=g（x）的圖象，再根據g（x）的單調性求得y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=

1

2

sin2x+

3

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
故f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）依題意g(x)=f(x-

π

4

)+

3

2

=sin[2(x-

π

4

)+

π

3

]+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

．
當x∈[0，

π

4

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，g（x）為增函數，
∴g（x）在[0，

π

4

]上的最大值為g(

π

4

)=

3 3

2

．

點評：本題考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了兩角和與差的三角函數，考查了三角函數的值域的求法，是中檔題．