Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，且3a₁+2a₂=16，a₃²=4a₂a₆．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足條件：2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，求數列{b_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q＞0，由于a₃²=4a₂a₆=4

a

2 4

，可得q=

a4

a3

=

1

2

．又3a₁+2a₂=16，解得a₁=4．即可得出a_n．
（II）由于2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，可得bn=

1-(-1)n

2

an=

0，n為偶數 an，n為奇數

．因此S_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1，利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₃²=4a₂a₆=4

a

2 4

，
∴q=

a4

a3

=

1

2

．
又3a₁+2a₂=16，
∴3a₁+2a₁q=16，解得a₁=4．
∴a_n=4×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3．
（II）∵2b_n=[1-（-1）ⁿ]a_n，
∴bn=

1-(-1)n

2

an=

0，n為偶數 an，n為奇數

．
∴S_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1
=(

1

2

)-2+(

1

2

)0+…+(

1

2

)2n-4
=

4×[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n]．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．