Question

11．已知集合C={（x，y）|xy-3x+y+1=0}，數列{a_n}的首項a₁=3，且當n≥2時，點（a_n-1，a_n）∈C，數列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$．
（1）試判斷數列{b_n}是否是等差數列，并說明理由；
（2）若$\lim_{n→∞}（\frac{s}{a_n}+\frac{t}{b_n}）=1$（s，t∈R），求s^t的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n-1a_n-3a_n-1+a_n+1=0，b_n=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，n換為n-1，作差再由等差數列的定義即可得到；
（2）運用等差數列通項公式，求出b_n，a_n，再由數列極限運算，可得s=1，進而得到結論．

解答 解：（1）∵當n≥2時，點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，
∴a_n-1a_n-3a_n-1+a_n+1=0   （1分）
由b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$得
當n≥2時，b_n-b_n-1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{1-{a}_{n}-{a}_{n-1}+{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{-2{a}_{n}+2{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$（3分）
∴數列{b_n}是公差為-$\frac{1}{2}$的等差數列．（4分）
（2）∵a₁=3，∴b₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b_n=-$\frac{1}{2}$+（n-1）•（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$n，（6分）
∴-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，則a_n=1+$\frac{2}{n}$    （8分）
∴$\frac{s}{{a}_{n}}$+$\frac{t}{{b}_{n}}$=$\frac{-\frac{s}{2}n+t-（1+\frac{2}{n}）}{-\frac{1}{2}n（1+\frac{2}{n}）}$=$\frac{-\frac{s{n}^{2}}{2}+tn+2t}{-\frac{1}{2}{n}^{2}-n}$，
由$\lim_{n→∞}（\frac{s}{a_n}+\frac{t}{b_n}）=1$（s，t∈R），
可得s=1，s^t=1．（10分）

點評 本題考查等差數列的定義和通項公式運用，同時考查數列極限的運算，屬于中檔題．