Question

3．如圖，己知平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G為CD中點，現將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG．
（I）求證：直線CE∥平面ABF；
（II）如果FG⊥平面ABCD求二面B一EF一A的平面角的余弦值．
（Ⅲ）若直線AF與平面 ABCD所成角為$\frac{π}{6}$，求證：FG⊥平面ABCD

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出CG∥AB，從而平面CEG∥平面ABF，由此能證明CE∥平面ABF．
（Ⅱ）AG⊥BG，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面B一EF一A的平面角的余弦值．
（Ⅲ）推導出GF⊥GA，GF⊥GB，由此能證明FG⊥平面ABCD．

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四邊形，∴CG∥AB，
 CG∥平面ABF，GE∥AF，GE∥平面ABF，
∴平面CEG∥平面ABF，
∴CE∥平面ABF．…（4分）
解：（Ⅱ）AG⊥BG，如圖建立空間直角坐標系，
$A（3\sqrt{3}，0，0）$B（0，3，0）F（0，0，3）
由題意平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}=（-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0）$，$\overrightarrow{BF}=（0，-3，0）$，
設平面BFEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}-3y+3z=0\\-3\sqrt{3}-2y=0\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，1），
設二面B一EF一A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面B一EF一A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（10分）
證明：（Ⅲ）∵AF與平面ABCD所成角為30°，AF=6，
∴設F（x，y，3），
∵FG=GB=3，∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{3}^{2}}$=3，∴x=y=0，∴F（0，0，3），
∴$\overrightarrow{GF}$=（0，0，3），∴$\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{GA}=0，\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{GB}=0$，
∴GF⊥GA，GF⊥GB，
∴FG⊥平面ABCD．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．