Question

20．已知點A（-1，0），B（1，0），△ABC的周長為6．
（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設過點B（1，0）的直線l與曲線E相交于不同的兩點M，N．若點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知結(jié)合橢圓定義求得動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得MN的中點坐標，寫出MN的垂直平分線方程，取x=0求得P的縱坐標，結(jié)合基本不等式求得點P的縱坐標的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，|CA|+|CB|=4，
故動點C的軌跡E是以A，B為焦點的橢圓．
設其方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則2a=4，a=2，c=1，$b=\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠±2）；
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=144（1+k²）＞0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．
設MN的中點為Q，則${x_Q}=\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_Q}=k（{x_Q}-1）=\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}$，
∴$Q（\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3k}{{3+4{k^2}}}）$．
由題意可知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為$y+\frac{3k}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}）$．
令x=0，解得${y_P}=\frac{k}{{3+4{k^2}}}=\frac{1}{{4k+\frac{3}{k}}}$．
當k＞0時，$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3}$，∴$0＜{y_P}≤\frac{{\sqrt{3}}}{12}$；
當k＜0時，$4k+\frac{3}{k}≤-4\sqrt{3}$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{12}≤{y_P}＜0$．
綜上所述，點P縱坐標的取值范圍是$[-\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}]$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．