Question

已知函數（、為常數），在時取得極值．

（1）求實數的取值范圍；

（2）當時，關于的方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（3）數列滿足（且），，數列的前項和為，

求證：（,是自然對數的底）．

 

Answer 1

（1）且；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）求實數的取值范圍，因為函數在時取得極值，故在有定義，得，可對函數求導得，，則是的根，這樣可得的關系是，再由的范圍可求得的取值范圍；（2）當時，關于的方程有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍，當時，由得，代入得 ，對求導，判斷單調性，即可得函數的最小值；（3）求證：，即證，因此需求出數列的通項公式及前項和為，由數列滿足（且），，得，即，可求得，它的前項和為不好求，由此可利用式子中出現代換，由（2）知，令得，，取，疊加可證得結論．

試題解析：（1） ∵在有定義 ∴

∴是方程的根，且不是重根

∴ 且 又 ∵ ∴且 4分

（2）時 即方程在上有兩個不等實根

即方程在上有兩個不等實根

令

∴在上單調遞減，在上單調遞增

當時，且當時，

∴當時，方程有兩個不相等的實數根 8分

（3） ∴ ∴ ∴

∴ 10分

由（2）知

代 得 即

∴

累加得

即 ∴ 得證 14分

考點：函數的極值，函數的最值，數列的通項公式，數列求和，函數的單調性．