Question

5．已知a，b，c∈R，對于任意的實(shí)數(shù)x，均有|ax²+bx+c|≥|x²-3x+2|．求|b²-4ac|的最小值．

Answer 1

分析 由題意，|ax²+bx+c|≥|x²-3x+2|．且|b²-4ac|取最小值，可得y=ax²+bx+c與y=x²-3x+2的圖象有共同的對稱軸
y=x²-3x+2的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，可得兩函數(shù)圖象重合或兩函數(shù)圖象不重合，但開口弧度相等，y=ax²+bx+c過（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）時，滿足題意，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，|ax²+bx+c|≥|x²-3x+2|．且|b²-4ac|取最小值，
可得y=ax²+bx+c與y=x²-3x+2的圖象有共同的對稱軸
y=x²-3x+2的對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
若△=0，不滿足題意，
∴△≠0，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）．
兩函數(shù)圖象重合或兩函數(shù)圖象不重合，但開口弧度相等，y=ax²+bx+c過（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）時，滿足題意，
即y=ax²+bx+c的圖象過（1，0），（2，0），y=ax²+bx+c=a（x-1）（x-2），
要使|ax²+bx+c|≥|x²-3x+2|，則|a|≥1，|b²-4ac|=|a²|，
∴|b²-4ac|的最小值是±1．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．