Question

20．如圖所示，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，設(shè)計剪裁成矩形ABCD的形狀，它的邊AB在圓O的直徑上，邊CD的端點在圓周上，若設(shè)矩形的邊AD為x；
（1）將矩形的面積S表示為關(guān)于x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）求矩形面積的最大值及此時邊AD的長度．

Answer 1

分析 （1）連接DO，把半徑與AD的關(guān)系表示出來，ABCD是矩形，O是AB的中點．可得AO與x的關(guān)系．可得矩形的面積S與關(guān)于x的函數(shù)．
（2）利用基本不等式的性質(zhì)求解最大值．

解答 解：（1）連接DO（如圖），
由題意：AD=x；OD=2，ABCD是矩形，O是AB的中點．
∴AO=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
那么：AB=2AO=2$\sqrt{4-{x}^{2}}$
∴ABCD矩形的面積S=AD•AB=x•2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
（2）由（1）可得：S=AD•AB=x•2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（0＜x＜2）．
=2$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤（x²+4-x²）=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，取等號．
故得ABCD矩形的面積S為4，此時邊長AD=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)關(guān)系式的求解即函數(shù)解析式，實際問題，定義域的確定，利用了不等式的基本性質(zhì)求解最值問題．屬于基礎(chǔ)題．