Question

2．圓臺的兩底面半徑分別是5cm和10cm，高為8cm，有一個過圓臺兩母線的截面，且上、下底面中心到截面與底面的交線的距離分別為3cm和6cm，求截面面積．圓臺的側面積和體積．

Answer 1

分析 根據題意：圓臺的兩底面半徑分別是5cm和10cm，高為8cm，可得母線長度，上、下底面中心到截面與底面的交線的距離分別為3cm和6cm，可得截面的高，和截面上、下邊長．可得截面面積；利用圓臺的側面積公式和體積公式直接可求圓臺的側面積和體積．

解答 解：由題意：：圓臺的兩底面半徑分別是5cm和10cm，高為8cm
∴母線長度l=BC=$\sqrt{{8}^{2}+（10-5）^{2}}=\sqrt{89}$．
S_側=π（R+r）l=$π（10+5）×\sqrt{89}$=$15π\sqrt{89}$；
$V=\frac{1}{3}（{S}_{上}+\sqrt{{S}_{上}{S}_{下}}+{S}_{下}）×h$=$\frac{8}{3}π（1{0}^{2}+10×5+{5}^{2}）=\frac{1400π}{3}$．
∵上、下底面中心到截面與底面的交線的距離分別為O₁E=3cm和OF=6cm
∴截面上邊長AB=2$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=8，下邊長DC=2$\sqrt{1{0}^{2}{-6}^{2}}$=16，截面的高h′=EF=$\sqrt{{8}^{2}+（6-3）^{2}}=\sqrt{73}$：
${S}_{截}=\frac{1}{2}（8+16）×\sqrt{73}$=12$\sqrt{73}$．
故得截面面積為$12\sqrt{73}$．圓臺的側面積為$15π\sqrt{89}$，體積為：$\frac{1400π}{3}$．

點評 本題考查了圓臺的側面積和體積求法和截面面積的問題．屬于基礎題．