Question

4．函數y=x+$\frac{9}{x+1}$（x≠-1）的值域為（-∞，-7]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 利用不等式的基本性質求函數的值域．

解答 解：由題意：函數y=x+$\frac{9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}-$1，
當x＞-1時，（x+1）$+\frac{9}{x+1}$≥2$\sqrt{\frac{9}{x+1}•（x+1）}$=6，當且僅當x=2是取等號．
則y≥6-1=5．
當x＜-1時，-[（x+1）$+\frac{9}{x+1}$]≥-2$\sqrt{\frac{9}{x+1}•（x+1）}$=-6，當且僅當x=-2是取等號．
則y≤-6-1=-7．
綜上所得：函數y的值域為（-∞，-7]∪[5，+∞）．
故答案為（-∞，-7]∪[5，+∞）．

點評 本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．