Question

13．已知數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{$\frac{a_n}{2^n}$}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知數列遞推式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，可得{$\frac{a_n}{2^n}$}是以$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$為首項，1為公差的等差數列．求出等差數列的通項公式后可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）直接利用錯位相減法求得數列{a_n}的前n項和S_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵${a_{n+1}}-2{a_n}={2^{n+1}}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1$．
∴{$\frac{a_n}{2^n}$}是以$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$為首項，1為公差的等差數列．
∴$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+（n-1）•1=n-\frac{1}{2}$．
則${a_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：
${S_n}=1+3•2+5•{2^2}+…+（2n-1）•{2^{n-1}}$，
∴$2{S_n}=2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-1）•{2^n}$．
兩式相減，得$-{S_n}=1+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$
=$1+\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^n}$．
得${S_n}=（2n-3）•{2^n}+3$．

點評 本題考查數列遞推式，考查等差關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．