Question

9．已知函數$f（x）={x^{-{k^2}+k+2}}$（k∈Z）在（0，+∞）上為增函數．
（1）求k值，并寫出相應的f（x）的解析式；
（2）對于（1）中得到的函數f（x），試判斷是否存在正實數m，使得函數g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x在區間[-1，2]上的值域為$[-4，\frac{17}{8}]$？若存在，求出m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意，-k²+k+2＞0，解得k值，進而可得f（x）的解析式；
（2）由（1）知g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，（其中m＞0，x∈[-1，2]），結合函數g（x）在區間[-1，2]上的值域為$[-4，\frac{17}{8}]$，可得滿足條件的m值．

解答 （10分）解：（1）（4分）依題意，-k²+k+2＞0，即k²-k-2＜0⇒-1＜k＜2，
又k∈Z，∴k=0或1，故f（x）=x²．
（2）（6分）由（1）知g（x）=-mx²+（2m-1）x+1，（其中m＞0，x∈[-1，2]），
因而，g（x）圖象的開口向下，對稱軸為$x=\frac{2m-1}{2m}$，
由于g（-1）=2-3m，g（2）=-1∈$[-4，\frac{17}{8}]$，$g（\frac{2m-1}{2m}）=\frac{{4{m^2}+1}}{4m}$，
結合圖象，只可能有2-3m=-4⇒m=2，此時$\frac{{4{m^2}+1}}{4m}=\frac{17}{8}$符合題意．
所以，存在實數m=2滿足題意．
[本題因為g（2）=-1∈$[-4，\frac{17}{8}]$，所以不可能出現$\frac{{4{m^2}+1}}{4m}=-4$的情形．]
[注：本題第（1）問較易，第（2）問較難]

點評 本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，難度中檔．