Question

19．函數f（x）=2x³+x，實數m滿足f（m²-2m）+f（m-6）＜0，則m的取值范圍是（-2，3）．

Answer 1

分析 根據題意，對函數f（x）=2x³+x求導可得其導數f′（x）=6x²+1＞0，分析可得函數f（x）為增函數，進而由f（-x）=-2x³-x=-f（x）分析可得，f（x）為奇函數；結合函數的奇偶性與單調性，可以將f（m²-2m）+f（m-6）＜0，轉化為m²-2m＜6-m，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，對于函數f（x）=2x³+x，其導數f′（x）=6x²+1＞0，則函數f（x）為增函數，
又由f（-x）=-2x³-x=-f（x），則函數f（x）為奇函數，
若f（m²-2m）+f（m-6）＜0，
則有f（m²-2m）＜-f（m-6），
即f（m²-2m）＜f（6-m），
又由函數f（x）為增函數，
則有m²-2m＜6-m，
解可得：-2＜m＜3，
即m的取值范圍是（-2，3）；
故答案是：（-2，3）．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是轉化思路，分析函數f（x）的奇偶性與單調性．