Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0），過(guò)焦點(diǎn)F，且傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|=6，則|BF|=2或18．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l．如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．由拋物線的定義可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x軸，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|．化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x=-$\frac{p}{2}$．
如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足為M，N．
過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x軸，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|），
化為|AF|=3|BF|
∵|AF|=6，
∴|BF|=2．
A，B交換，可得|BF|=18．
故答案為：2或18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、含60°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，考查了輔助線的作法，屬于中檔題．