Question

2．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數）；在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ；
（1）求曲線C₁的極坐標方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（2）若射線l：y=kx（x≥0）與曲線C₁，C₂的交點分別為A，B（A，B異于原點），當斜率$k∈[1，\sqrt{3}）$時，求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將C₁的參數方程化為普通方程，再華為極坐標方程，將C₂的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標與直角坐標的對應關系得出C₂的直角坐標方程；
（2）求出l的參數方程，分別代入C₁，C₂的普通方程，根據參數的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|關于k的函數，根據k的范圍得出答案．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），普通方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
極坐標方程為C₁：ρ=2cosθ，
曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲線C₂的直角坐標方程${C_2}：{x^2}=2y$，
（2）設射線l的傾斜角為α，
則射線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，$\frac{π}{4}≤α＜\frac{π}{3}$）．
把射線l的參數方程代入曲線C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射線l的參數方程代入曲線C₂的普通方程得：cos²αt²=2tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=2cosα•$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$=4tanα=4k．
∵$k∈[1，\sqrt{3}）$，4k∈$[4，4\sqrt{3}）$，
∴|OA|•|OB|的取值范圍是$[4，4\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，參數的幾何意義的應用，屬于中檔題．