Question

13．已知曲線C上的任一點(diǎn)到點(diǎn)F（0，1）的距離減去它到x軸的距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+m（m＞0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若對(duì)于任意k∈R都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)曲線C上的任一點(diǎn)為P（x，y），列出$\sqrt{{x}^{2}+（{y-1）}^{2}}-|y|=1$，化簡(jiǎn)求解即可；
（2）聯(lián)立方程y=kx+m及x²=4y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，通過(guò)$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-4k²+（m-1）²-4m＜0，求解m 即可．

解答 解：（1）曲線C上的任一點(diǎn)到點(diǎn)F（0，1）的距離減去它到x軸的距離的差都是1．
由題意設(shè)曲線C上的任一點(diǎn)為P（x，y），
則$\sqrt{{x}^{2}+（{y-1）}^{2}}-|y|=1$，即x²=2y+2|y|；
當(dāng)y≥0時(shí)，x²=4y，
當(dāng)y＜0時(shí)，x=0．
曲線C的方程：x²=4y，（y≥0）或x=0（y＜0）．
（2）直線y=kx+m（m＞0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，可知曲線C的方程：x²=4y，（y≥0）．
聯(lián)立方程y=kx+m及x²=4y，得x²-4kx-4m=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-4k²+（m-1）²-4m＜0，對(duì)任意的k∈R恒成立，（m-1）²-4m＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$$＜m＜3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．