Question

4．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃=13，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，則符合S_n＞a₅的最小的n值為（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，n≥2時，a_n=2S_n-1+1，可得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，n≥2時，a_n=2S_n-1+1，∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，
由S₃=13，∴$\frac{{a}_{1}（{3}^{3}-1）}{3-1}$=13，解得a₁=1．
∴a₅=3⁴=81．
S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，S₅=$\frac{1}{2}（{3}^{5}-1）$=121＞a₅，
S₄=$\frac{1}{2}（{3}^{4}-1）$=40＜a₅．
∴符合S_n＞a₅的最小的n值為5．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．